数学建模学习笔记（三）：层次分析法

层次分析法（AHP）是对一些较为复杂、较为模糊的问题做出决策的简单方法，特别适用于那种难于完全定量分析的问题。

1 基本原理

运用层次分析法建模大体上可按照下面四个步骤进行：

1. 建立梯阶层次结构模型；
2. 构造出各层次中的所有判断矩阵；
3. 层次单排序及一致性检验；
4. 层次总排序及一致性检验。

1.1 梯阶层次结构的建立

先把复杂问题分解成各个元素，这些元素根据其关系分为各个层级，上一层级的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。这些层次可以分为三类：

1. 最高层 ：也称目标层，就是我们要实现的目标，有且只有一个；
2. 中间层 ：包含为了实现目标所涉及的各种中间环节，可以由若干层组成，包括要考虑的准则，又称准则层；
3. 最底层 ：包含了为实现目标可供选择的各种措施，决策方案，又称措施层。

2 步骤

2.1 构造判断矩阵

不同的准则应该在最终的决定过程中是占了不同的比例的。但是在确定其所占比例的过程中，定量化是特别难的。尤其是当决策因素特别多时，决策者很容易顾此失彼，互相矛盾。

我们可以用对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法。每次取两个因子 和 ，用 来表示这两个因子影响大小之比。

🔑 Info: 定义 1

若矩阵 满足

则称其为正互反矩阵

建议使用如下标度：

标度	含义
1	表示具有相同重要性
3	表示前者比后者稍重要
5	表示前者比后者明显重要
7	表示前者比后者强烈重要
9	表示前者比后者极端重要
2，4，6，8	表示上述相邻判断的中间值
倒数	后者比前者……

💡 Note: 注意

需要指出的是，两两比较是有必要的，也就是要比较 次

2.2 层次单排序及一致性检验

判断矩阵最大特征值对应的特征向量，经过归一化后即为同一层次相应因素对于上一层次某因素相对重要性的排序权值。这一过程称为层次单排序。

🔑 Info: 定义 2

满足如下关系式的正互反矩阵称为一致矩阵：

如果构造出来的 A 阵具有严重的非一致性，则应该做一定修改。

对判断矩阵的一致性检验步骤如下：

1. 计算一致性指标 ：
   

2. 查找相应的平均随机一致性指标 ：

   n	1	2	3	4	5	6	7	8	9
   RI	0	0	0.58	0.90	1.12	1.24	1.32	1.41	1.45

3. 计算一致性比例 ：

当 时，则认为是可以接受的，否则就应当修正。

2.3 层次总排序及一致性检验

自上而下将单准则下的权重进行合成，其实就是上一层的权重乘下一层的权重。

B 层总排序一致性比例为：（ 为 A 层的权重）

同样，当 时，就满足要求。