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自动控制原理 (五): 频率域方法


本章介绍另一种控制系统的分析方法: 频率域方法。

频率法是利用系统对正弦输入信号的稳态响应来进一步分析系统的性能。 学过傅里叶级数后, 我们知道任何一个其他的输入信号都可以表示为不同频率、 幅度、 相位的正弦信号的加和。 因此对于线性定常系统来说, 任何信号作用下的响应都可以由正弦信号作用下的响应得到。 这也说明频域的研究具有普遍性。

1 频率特性

1.1 频率特性的定义

一个稳定的线性定常系统, 在正弦信号作用下, 进入稳态后, 其输出是与输入同频率的正弦信号。 稳态输出幅值与输入幅值的比值称为 幅频特性​​ ; 稳态输出与输入的相位差称为 相频特性​​。

以上定义的幅频、 相频特性统称系统的频率特性, 记为: ​​。

式中:

对于频率特性有以下几条性质:

  1. 频率特性不只是对系统而言, 其概念对控制元件, 部件和控制装置均适用。

  2. 频率特性只适用于 线性定常系统

  3. 若系统不稳定, 则系统的输出不会趋于稳态分量, 但稳态分量理论上总可以分离出来。 这时的频率特性是指: 当输入为正弦信号时, LTI系统输出的稳态分量与输入的复数比。 这是频率特性的扩展概念。

  4. 频率特性与微分方程和传递函数一样, 是动态数学模型, 它们的关系如下:

1.2 频率特性的几何表示方法

在工程分析和设计中, 通常把频率特性画成一些曲线, 通过这些曲线对系统进行研究。 常用的曲线有:

  • 幅频特性曲线: 曲线;

  • 相频特性曲线: 曲线;

  • 幅相频特性曲线: 以频率 ​ 为参变量, 根据幅频和相频的值确定的点连成的曲线。 又称 Nyquist 曲线

  • 对数频率特性曲线(又称Bode图): 使用对数坐标, 横坐标是角频率 , 单位 ; 按 刻度, 标注的是 的值。

    • 对数幅频曲线: 为纵坐标, 单位为 dB(分贝);
    • 对数相频曲线: ​ 为纵坐标, 单位为度或弧度。

    对数坐标

1.3 典型环节的频率环节

下面介绍几个典型环节的频率特性:

1.3.1 比例环节

幅频特性:

相频特性:

对数幅频特性:

均为常数

1.3.2 积分环节

幅频特性:

相频特性:

对数幅频特性:

对数幅频特性曲线是斜率为 (分贝/十倍频程) 的直线, 相频则为常数

1.3.3 惯性环节(一阶系统)

幅频特性:

相频特性:

对数幅频特性:

在工程实践中, 为了便于作图, 常使用对数幅频特性渐近曲线来近似真实的曲线, 下面介绍一下惯性环节的近似曲线怎么求:

  • ​ 时, 将 ​​ 项略去, 此时
  • 时, 将 项略去, 此时

由上面的分析可知, 惯性环节的对数幅频渐近曲线有两部分, 当 时, 近似为一条 0 分贝线, 当 时, 近似为一条斜率为 ​ 的直线。 这样近似存在误差, 误差最大处在 , 最大误差为 ​。

而对于对数相频特性来说, 是随着 ​ 的增加, 逐渐由 变换到 , 且 时, 相频特性取

1.3.4 振荡环节

幅频特性:

相频特性:

对数幅频特性:

其近似曲线求法如下:

  • 时, 将该项略去, 得到:

  • 时, 将 1 和低次项 略去, 得到:

由上面的分析可知, 二阶振荡环节的对数幅频渐近曲线有两部分, 当 ​ 时, ​ 近似为一条 0 分贝线, 当 ​ 时, ​ 近似为一条斜率为 ​ 的直线。 近似误差可以取几点进行计算修正, 如:

式中 最大值的位置:

不同的阻尼比对应不同的曲线, 如下图所示:

也能看出阻尼比越大, 对数相频曲线变化也越平缓。

1.3.5 一阶微分环节

幅频特性:

相频特性:

对数幅频特性:

1.3.6 一阶不稳定环节

幅频特性:

相频特性:

对数幅频特性:

一阶惯性环节和一阶不稳定环节的幅频特性相同, 相频特性不同。 当 从 0 变化到无穷时, 惯性环节的相位由 0 变化到 , 一阶不稳定环节的相位从 ​ 变化到 ​。 前者相位绝对值小, 后者相位绝对值大。

我们称惯性环节为 最小相位环节, 一阶不稳定环节为 非最小相位环节。 推广而言, 若某个环节(或系统)的传递函数中有实部为正的极点或零点, 则称为非最小相位环节。 若没有则称为最小相位环节。

💡 Note:

数字信号处理中, 也有最小相位系统的概念, 指的是所有零点和所有极点都位于单位圆内部的因果稳定系统。 单位圆内部可以对照成虚轴左侧。

1.3.7 延迟环节

幅频特性:

相频特性:

对数幅频特性:

2 系统的开环频率特性

对于开环传递函数 G(s) 来说, 如果:

则开环频率特性为:

2.1 Nyquist 曲线的绘制

对于最小相位系统, 系统开环幅相特性曲线有如下特点:

  1. 时, 其开环幅相特性完全由比例环节和积分环节决定; 当开环传递函数 G(s) 不含积分环节时, , K为开环增益; 而如果含有 v 个积分环节, 则
  2. 若开环传递函数的分子中含有 s 的因式, 其幅相特性曲线可能是一条由凹凸的曲线, 若分子中不含 s 的因式, 则幅相特性曲线将是一条平滑的, 不出现凹凸的曲线。
  3. 当频率 ​ 趋于正无穷大时, 若 n>m [1] 的幅值为0, 相位为 ​​
  4. 若与负实轴相交, 则交点是一个关键点, 可以令 , 解出对应频率 ​, 再代入求得模值。
  5. 由于开环传递函数是复变量 s 的有理分式, 故 ​ 的取值对称于实轴, 因此 Nyquist 曲线 的部分和 的部分是关于实轴对称的, 因此一般只用绘制一半即可。

2.2 Bode图的绘制

除了比例环节和积分环节外, 其余典型环节均有转折频率, 且在频率小于其转折频率时, 该典型环节的对数渐近幅频的取值均为0, 总结下来可以按如下方式作图:

  1. 根据转折频率, 将横轴分成若干个区间: ​;​
  2. 在每个区间内, 只考虑近似幅频取值非零的环节;
  3. 在每个转折频率处, 斜率均要改变, 具体改变量取决于对应的典型环节(二阶对应-40, 一阶对应-20);
  4. 可以根据公式修正在转折频率处的近似幅值。

对于最小相位系统, 开环对数频率特性曲线有如下特点:

  1. 低频段 (频率小于最小转折频率时) 对数幅频渐近特性曲线的斜率由积分环节个数 v 决定, 若为零型系统, 则斜率为 0 dB/dec, 若为I型系统, 则斜率为-20 dB/dec, 若为II型系统, 则斜率为-40 dB/dec ……[2]

  2. 低频段的对数幅频渐近特性曲线 (或其延长线) 与零分贝线相交处的频率为 ​, 其中 K 为开环增益, v 为积分环节个数, 理由如下:​

  3. 当频率趋于0时, 对数相频特性曲线从 开始, 当频率趋于正无穷大时, 相频特性曲线趋于 , 其中, n 和 m 分别为开环传递函数分母和分子多项式的次数。

  4. 对数幅频渐近特性曲线由不同斜率的直线段组成, 从低频到高频, 每经过一个转折频率, 其斜率均要发生变化, 变化量或是 20 dB/dec (); 或是 -20 dB/dec (​); 或是 40 dB/dec​; 或是 -40 dB/dec (​)。

  5. 当频率趋于无穷大时, 对数幅频渐近特性曲线的斜率为 (m-n)20 dB/dec。

3 频率稳定判据

通过对系统频域的分析, 我们也能判断系统的稳定性。 频率稳定判据可以根据开环频率特性来判别闭环系统的稳定性。 频率稳定判据是建立在辐角原理的基础上的。

3.1 辐角原理

若 s 平面上的曲线 ​ 包围了 F(s) 的 Z 个零点和 P 个极点, 则当点 s 沿 顺时针移动一周时, 在 F 平面上闭合曲线 ​ 逆时针绕过原点的圈数 R 为 P 和 Z 之差:

若 R 小于0则代表顺时针绕过原点。

attention:

不能经过 F(s) 的任何一个零点和极点

辐角原理不加证明, 下面来看看如何将开环频率特性与闭环系统稳定性联系起来。

3.2 Nyquist 稳定判据

对于如下的系统:



闭环传递函数为:

现定义一个辅助函数:

可以看出, 该辅助函数的分子是闭环特征多项式, 分母是开环特征多项式。 其零点是闭环传递函数的极点, 其极点是开环传递函数的极点, 由此就确立了开环到闭环的一个关系。 我们只要分析清楚 F(s) 的零点就能知道闭环系统的稳定性。

将曲线 ​​​ 取做由虚轴和 s 右半平面上半径无穷大的半圆组成。 则其包围的 F(s) 的极点个数, 即为 F(s) 中有正实部的极点的个数, 也就是系统的开环不稳定极点。 如果已知了 ​​ 绕过原点的圈数 R, 我们就能计算出 F(s) 有正实部的零点也就是系统闭环不稳定极点的个数 Z=P-R (辐角原理)

所以目前亟待确定的就是 绕过原点的圈数 R, F(s) 和 G(s)H(s) 只差了一个常数 1, ​ 绕过原点的圈数也就相当于开环传递函数在 G(s)H(s) 平面绕过点 (-1, j0) 的圈数。

真实的物理系统 G(s)H(s) 的分母次数都是大于分子的[3], 因此 ​ 中半径无穷大的半圆部分, 其对应到 G(s)H(s) 平面上都在原点, 要考虑的也就只有 ​ 中的虚轴部分, 也就是只需考虑 s 沿虚轴从 取值的情况。 将 s 用 替换, 继而考虑 ​​​​ 对应的 ​​ 曲线, 即幅相特性曲线(Nyquist 曲线)即可。

由 Nyquist 曲线的对称性可知, 其逆时针绕过 (-1, j0) 的圈数 R, 相当于 从 0 变化到 ​​ 时的曲线逆时针绕过 (-1, j0) 点的圈数 N 的两倍: R=2N。 进而, 最终可确定闭环不稳定极点的个数: Z = P - 2N。

💡 Note:

若开环传递函数含有积分环节, 由于 ​​ 不能经过 F(s) 的任一零点和极点, 所以作一个小圆绕过原点, 作图时, 先分析圆上, 再分析虚轴。 例:

如下图:


对无穷小圆进行分析, 在上面的 对应到 平面上的无穷远处, 而当 为0时, 除积分环节外, 其余部分的相角是0, 因此 Nyquist 曲线的起点从正实轴的无穷远处开始, 而当 时, 每个积分环节产生一个 的相位, 而一阶惯性环节会有一个小小的负相位。 而当 为无穷时, 惯性环节的相位为 , 整体系统相位即为 。 可得 Nyquist 曲线如右图。 顺时针绕过 (-1, j0) 点一次, R=-1。

根据上面的例子, 我们总结出方法, 如果开环传递函数中含有积分环节, Nyquist要进行补全, 确定 ​ 等于 ​ 时的相位, 然后用幅值无穷大的虚线连接即可。

综上分析, 可得 奈奎斯特(Nyquist)稳定判据

闭环系统稳定的充要条件: 当频率 ​ 由 ​ 变到 ​ 时, 开环幅相特性曲线逆时针绕 (-1, j0) 点绕过 P 圈, P 为开环传递函数位于右半平面的极点个数。

基于 Nyquist 曲线的对称性, 该判据还可以写作: 当频率 ​​ 由 0​ 变到 ​​ 时, 开环幅相特性曲线逆时针绕 (-1, j0) 点绕过 P/2 圈。 若系统开环稳定, 也就是 P=0, 则当开环幅相特性曲线不包围 (-1, j0) 点时, 系统闭环稳定。

在实践时常这样使用:

当频率 由 0 变到 时, 开环幅相特性曲线逆时针绕 (-1, j0) 点绕过 N 圈, 闭环传递函数在 s 右半平面的极点数为 Z=P-R=P-2N。 如果出现积分环节, 要对 Nyquist 曲线进行补全。

上面这句话就是 Nyquist 稳定判据使用时的精髓, 请务必注意‼️

3.3 对数频率稳定判据

首先对于对数频率特性, 定义如下两个概念:

  • 正穿越次数 (​​): 在对数幅频特性 L>0 内, 相频曲线由下向上穿越 线的次数。 (对于相频曲线从 线开始向上的情况, 称为半次正穿越);
  • 负穿越次数 (): 在对数幅频特性 L>0 内, 相频曲线由上向下穿越 线的次数。 (对于相频曲线从 线开始向下的情况, 称为半次负穿越);

则闭环系统稳定的充分必要条件为:

在开环对数幅频 的频率范围内, 对应的开环对数相频特性曲线 线的正、 负穿越次数之差, , 其中 P 是开环不稳定极点个数。

同样的, 闭环不稳定极点数为 ​, 而如果有积分环节, 相频曲线要在起始处向上补画 ​。

4 稳定裕度

稳定裕度是衡量闭环系统稳定程度的指标, 分为 相稳定裕度模稳定裕度。 稳定裕度越大, 证明系统的平稳性越好。

4.1 相稳定裕度

相稳定裕度为:

其中, 称为截止频率, 即对数幅频特性等于 0 dB对应的频率:

时, 系统稳定; 时, 系统不稳定

4.2 模稳定裕度

模稳定裕度为:

其中频率 满足条件:

时, 系统稳定; 时, 系统不稳定。

5 系统开、闭环频率特性与阶跃响应的关系

下面以单位负反馈系统为例进行分析, 对于非单位负反馈系统, 通过适当变换仍可利用所得结论

5.1 闭环频率特性与阶跃响应的关系

设:

  1. M(0) 与阶跃响应的稳态误差的关系:

    当 M(0)=1 时, 稳态误差 , 系统无静差;

  2. 闭环幅频峰值 ​ 与平稳性的关系:

    若闭环幅频的峰值 大, 说明在峰值频率 附近[4], 开环幅相特性曲线接近 (-1, j0) 点, 从而稳定裕度小, 平稳性差。

    • 一阶系统幅频特性曲线无峰值, 阶跃响应无超调, 平稳性好;
    • 二阶系统阻尼比越小, 幅频峰值越大, 超调量越大, 平稳性越差。
  3. 频带宽度 与快速性的关系:

    频带宽度 是指 的数值衰减到 0.707M(0) 时所对应的频率。 一般, 系统的带宽与阶跃响应调节时间成反比。

  4. 闭环幅频在 处的斜率反映系统抗高频干扰的能力:

    斜率越陡, 则系统抗高频干扰的能力就越强。

5.2 开环频率特性与阶跃响应的关系

系统的开环对数幅频特性可分三个频段讨论:

  1. 低频段: 指小于最小的转折频率的区段, 与积分环节和开环增益有关, 反映系统的稳态精度;

  2. 中频段: 指开环幅频特性曲线在截止频率 附近的区段, 该段反映系统的平稳性和快速性;

    • 若斜率为 -20 dB/dec, 且占据频率范围较宽, 闭环系统近似一阶系统, 平稳性较好, 调节时间近似
    • 若斜率为 -40 dB/dec, 且占据频率范围较宽, 闭环系统近似零阻尼二阶系统, 平稳性较差;
    • 若斜率小于 -60 dB/dec, 且占据频率范围较宽, 闭环系统一般不稳定
  3. 高频段: 指开环幅频特性曲线在中频段之后 () 的区段, 由系统中时间常数较小的部件决定, 对动态响应影响不大。

    高频段的分贝值越低, 系统抵抗高频干扰的能力越强。

总结下来就是:

低频段: 与积分环节和开环增益有关, 反映系统的稳态精度。
中频段: 反映系统的平稳性和快速性, 斜率为 -20 dB/dec 最佳。
高频段: 对动态响应影响不大, 反映了系统对高频输入的抑制作用, 高频段的分贝值越低, 系统抵抗高频干扰的能力越强。

6 参考文献

《自动控制原理 (第二版)》 | 程鹏 | 高等教育出版社


  1. 1.n 和 m 分别是 G(s) 中分母和分子多项式的次数 ↩︎
  2. 2.型别的定义见第四章 ↩︎
  3. 3.原因见第二章 ↩︎
  4. 4. ↩︎

文章作者: Mond
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