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自动控制原理 (四): 根轨迹法


本章介绍分析自动控制系统的另一种方法: 根轨迹法。

通过上一章的分析, 我们发现系统的稳定性是由闭环极点决定的, 闭环极点在很大程度上影响着系统的动态性能, 因此闭环极点的分析是很重要的。 而分析系统参数变化对闭环极点分布的影响的方法, 就是根轨迹法。

1 根轨迹概念和根轨迹方程

根轨迹是指当系统开环的某个参数 (如开环增益) 从零变化到无穷时, 闭环特征方程的根[1]在复平面上移动的轨迹。

实际上, 调整开环增益正是配置闭环极点的常用方法, 因此下面的讨论基本都围绕开环增益变化时的根轨迹展开。

对于一个如下图所示的闭环控制系统:

其开环传递函数

式中 为开环根轨迹增益。 分别为开环零、 极点。 并假定

与之前的开环传递函数形式进行对比:

这里的 K 是开环增益。

总结来说, 开环根轨迹增益是首一 (s 最高次项系数为 1), 开环增益是尾一 (常数项为 1), 而二者的关系为:

开环增益从零变化到无穷, 相当于开环根轨迹增益从零变化到无穷。 同样的, 上式包含的其他参数的变化, 也能对应成开环根轨迹的变化, 下面我们只分析开环根轨迹增益 时根走过的轨迹。

系统的闭环特征方程为 ​, 通常写成: ​, 又称 根轨迹方程

根轨迹方程是一个复数方程, 可以分解为两部分:

  • 模值方程:

  • 相角方程:

由于模值方程中包含 , 而对于根轨迹来说, , 因此任意的 s 都可以说它满足模值方程。 而相角方程则与 无关, 相角方程是确定复数 s 是否为根轨迹上的点的充分必要条件。

所以我们一般使用相角方程来确定 s 是否在根轨迹上, 用模值方程来求出根轨迹上已知的一点 s 对应的 值。

2 根轨迹的绘制

绘制根轨迹时, 我们不可能对每个开环根轨迹增益都求出对应的根, 然后绘图。 我们需要一定的技巧, 这些技巧可能无法精确的绘图, 但一般能满足工程上的需求。 下面列出了 10 点开环增益变化时根轨迹绘制的基本法则, 其他参数变化时, 经过适当的变换, 这些法则仍然适用。

2.1 根轨迹的分支

根轨迹的分支数等于特征方程的阶数。

这是显然的, 毕竟有多少个根就会画出多少个轨迹。

2.2 根轨迹的连续性与对称性

根轨迹是连续的, 且对称于实轴。

连续是因为方程是关于 K 的连续函数, 对称是因为特征方程只有实根和共轭复根。

2.3 根轨迹的起点与终点

根轨迹起始于开环极点, 终止于有限的开环零点或无穷远处。

起点是指当 为0的位置, 终点是 ​ 无穷大的位置。 根据根轨迹的方程, 我们可以变换得到下式:

为零时, 方程式左右两端等于无穷, 而若想左式为无穷, 必有分母是0。 这里不考虑分子是无穷的情况, 因为分子是无穷时, 分母同样也是无穷, 而分母次数又比分子次数高, 所以分式不可能是无穷。 总而言之, 这种情况下, 就有 , 即根轨迹起始于某一个开环极点。

为无穷时, 方程式左右两端等于0, 当左边分式的分子为 0 时, 条件成立, 此时 ​, 即根轨迹终于某一个开环零点。 另一种情况, s 趋于无穷, 此时若 n>m, 则

满足条件, 此时根轨迹终于无穷。

2.4 实轴上的根轨迹

实轴上某一区域, 若其右边开环实数零极点的个数之和为奇数, 则该区域必是根轨迹。

注意有重根的情况, 每个重根都要算上。 区域右端的端点也要算上。

以下图为例:

对于实轴上的点 s 来说, 实轴以外成对出现的极点或零点到 s 的向量相角之和为 , 如图: ​。 而实轴上 s 点左侧的开环零极点到 s 的向量相角均为0。 因此真正影响到实轴上点相角方程的成立的只有实轴上右侧的点。 这些点到 s 点的向量相角均为 , 设 s 点右侧有 x 个开环零点, y 个开环极点, 则对于 s 点, 相角方程可写为:

因此, x-y 必须为奇数, 由此推得 x+y 同样也为奇数。

2.5 根轨迹分离点的坐标

分离点 (或会合点) 是指两条或两条以上根轨迹在 s 平面上相遇又立即分离的点。 分离点坐标 d 可以用下式计算:

证明如下:

闭环特征方程为:

分离点一定是重根, 所以有下面的两个条件:

上下两个方程相除, 进一步推导:

分离点一般用 d 表示:

命题得证 😆 ​。

2.6 根轨迹的渐近线

渐近线与正实轴的夹角为:

渐近线与实轴的交点横坐标为:

证明如下:

根轨迹方程经过一定的变换可写作:

​ , 代入得:

将上式左边那一大坨因式进行泰勒展开:

再将方程右端写成模与相角的形式:

式中

显然上式即为渐近线方程, 当 时, 即为渐近线与实轴交点, 当 ​ 时, , 即为渐近线方位角。

2.7 根轨迹的起始角和终止角

起始角为: 根轨迹离开开环极点处切线与正实轴的夹角

终止角为: 根轨迹进入开环零点处的切线与正实轴的夹角

一般只有在出现有复数零极点时, 才考虑使用此规则。 总结下来就是 、 所有零点到该点的角度之和、 所有极点到该点的角度之和, 这三者之间进行加减。

2.8 分离角与会合角

会合角 根轨迹进入会合点处的切线与实轴正方向的夹角

式中, 代表 d 是 重根, 是 d 对应的 K 条件下, 除 d 以外的其他极点。 该式和起始角终止角公式还有一定的相似之处。

分离角 根轨迹离开分离点处的切线与实轴正方向的夹角

🔑 Info:

若有 条根轨迹进入 d 点, 必有 条根轨迹离开 d 点, 条进入 d 点的根轨迹与 ​ 条离开 d 点的根轨迹相间排列, 任一条进入 d 点的根轨迹与相邻的离开 d 的根轨迹方向之间的夹角为

2.9 根轨迹与虚轴的交点坐标

若根轨迹与虚轴相交, 可 令闭环特征方程中的 , 然后分别令实部和虚部为0。 求得交点纵坐标 ​ 和对应的 值。

2.10 根之和与根之积

闭环特征方程写作:

式中 为闭环极点。

则:

这一点需要注意的是,*, 显然与 无关, 也因此, 根之和也与 ​ 无关。

💡 Note:

值得一提的是, 通常绘制根轨迹用不了10条规则, 尤其是 7、 8、 9、 10 条, 用的不多。

3 广义根轨迹

开环增益变化时的根轨迹比较常用, 可以称之为常规根轨迹, 而广义根轨迹则包含有其他情况, 此时做适当的变化仍可以用常规根轨迹的分析方法。

3.1 开环零极点变化的根轨迹

当开环零点或开环极点变化时, 先求得特征方程, 对特征方程进行变换:

式中的 A 包含变化的参数, 其余部分与 A 无关的首一多项式, 此时可得等效系统, 等效开环传递函数为

然后就可以用之前的分析方法了

3.2 零度根轨迹

注意到常规根轨迹方程如下所示:

由于等式右边 -1 相位是 180°, 也称作 180° 根轨迹, 而如果右边变成 1, 就是零度根轨迹, 零度根轨迹方程如下

与180度根轨迹相比, 零度根轨迹的相角方程不一样:

多数法则与180度根轨迹相同, 只有四条不同:

4) 实轴上的根轨迹

实轴上某一区域, 若其右侧实轴上的零、 极点个数之和为偶数, 则该区域为根轨迹

6) 根轨迹的渐近线

7) 根轨迹起始角和终止角

8) 分离角和会合角

4 系统闭环零、 极点分布与阶跃响应的关系

对于如下的系统:



闭环传递函数为:

可见, 闭环零点由 G(s) 的零点和 H(s) 的极点组成, 开环传递函数 G(s)H(s) 已知时, 闭环零点是确定的。 而闭环极点与开环零、 极点及开环增益有关。

4.1 阶跃响应解析式

设闭环传递函数为

输入为阶跃函数, 当 无零根, 无重根时, 输出可写作:

稳态分量为, 后面的和式为暂态分量。

4.2 闭环零极点分布与阶跃响应的定性关系

  1. 若要求系统稳定, 则必须所有闭环的极点均位于 s 左半平面;
  2. 若要求系统快速性好, 则闭环极点应远离虚轴;
  3. 若要求系统平稳性好, 则共轭复数极点最好设置在 s 平面中与负实轴成 处。[2]

一对靠的很近(或重叠)的闭环零、 极点称为 偶极子, 对动态过程的响应可忽略不计。 某些极点相对其他极点离虚轴很近, 这些极点为 主导极点

🔑 Info:

一般在对系统做近似分析时, 可忽略非主导极点和偶极子, 将系统近似成低阶系统。

5 参考文献

《自动控制原理 (第二版)》 | 程鹏 | 高等教育出版社


  1. 1.也就是闭环极点 ↩︎
  2. 2.这是因为最佳阻尼比为 ↩︎

文章作者: Mond
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