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自动控制原理 (三): 时域下的性能分析


上一章中已经简单介绍过调节时间、 超调量等一些性能的定性分析和定量计算。 本章主要介绍在时域下的系统稳定性分析和稳态误差分析。

1 系统稳定性分析

对于一个控制系统, 如果其受到扰动, 偏离了原来的平衡状态, 而当扰动消失后, 系统又能够逐渐恢复到原来的平衡状态, 则称系统是稳定的, 如果扰动消失后系统无法恢复至原来的平衡状态, 甚至偏差越来越大, 则称系统是不稳定的, 或不具有稳定性。

稳定平衡和不稳定平衡

稳定性是系统的一种固有属性, 对于现在讨论的线性定常系统来说, 稳定性只与系统的内部结构参数有关, 而与 初始条件外作用 无关。

稳定还可以定义为: 在有界的输入下, 系统输出响应也是有界的。 这种定义被称作 BIBO 稳定。

1.1 稳定的数学条件

设一个 LTI (线性定常) 系统的闭环传递函数为 G(s)=N(s)/D(s) ; 脉冲响应函数为 g(t) , 则该闭环系统稳定的充分必要条件是:

系统 BIBO 稳定的充要条件为: G(s) 的极点均具有负实部, 或者说都位于复平面虚轴以左

也可以说系统稳定的充要条件是系统的特征方程 D(s) 所有根都具有负实部。

💡 Note: 系统的特征方程

系统的特征方程是指令闭环传递函数分母等于 0 的方程。 如果系统的开环传递函数为 G(s), 反馈通路传递函数为 H(s), 则闭环传递函数即为: [1]​, 因为一般是负反馈, 所以分母里是+号, 所以如果给出的是开环传递函数, 应当经过上式的计算, 令 1+G(s)H(s)=0 得系统的特征方程。

对于所有情况, 总结如下:

  • 所有根实部小于0: 稳定
  • 单根实部等于0: 临界情况, 系统既不发散, 也不能恢复, 不属于稳定
  • 重根实部等于0: 系统会发散, 不稳定
  • 有根实部大于0: 系统会发散, 不稳定

1.2 稳定性判据

经过上面的分析, 我们知道通过求解系统的特征根可以用来判断系统的稳定性。 但如果系统阶数高, 则特征方程很难求解, 此时可以用下面介绍的判据:

1.2.1 赫尔维茨 (Hurwitz) 判据

系统稳定的充分必要条件是: 特征方程的赫尔维茨行列式全部为正。

各阶赫尔维茨行列式分别为:

🔑 例: 系统特征方程为:

则系统稳定的充分必要条件为:

1.2.2 林纳德-奇帕特 (Lienard-Chipard) 判据

该判据其实是赫尔维茨判据的推广, 减少了计算量

系统稳定的充分必要条件为:

  1. 系统特征方程的各项系数均大于0, 即
  2. 奇数阶或偶数阶的赫尔维茨行列式大于0, 即 ​ 或

1.2.3 劳斯 (Routh) 判据

以上两个判据计算较为复杂, 三阶及以下可以使用 (直接套上面例子里的式子就好), 阶数较高的一般直接用劳斯判据。

使用劳斯判据时先列出劳斯表:

Routh 判据:

  • 闭环系统稳定当且仅当:
    1. 特征方程 D(s) 的所有系数为正;
    2. Routh 表的第一列所有元素为正。
  • D(s) 正实部根的个数等于 Routh 表第一列元素符号改变的次数。

从劳斯表的构造过程可以看出, 劳斯表的每一行都取决于其前两行。 但有些特殊情况会让劳斯表无法计算下去, 比如第一列的元素为0, 或某一行的元素全为0。 这两种特殊情况的处理方法如下:

  • 当某一行的第一列元素为0时:

    • 可以用一个极小的正数 来代替0, 继续运算。
    • 也可以给原特征方程乘以 (s+1) 后, 再构造新特征方程的劳斯表。 用该劳斯表判稳, 结果与原特征方程一样。
  • 当某行的元素全为0时:

    用上一行构造辅助函数 ; 对辅助函数求导, 将求导后各项的系数作为零行的元素。

💡 Note:

辅助函数的次数通常为偶数, 求解 ​​ 可以得到数值相等, 符号相反的根, 这些根同样也是系统特征方程的根

1.3 相对稳定性分析

离虚轴越近的根对系统的影响越大, 因此通常使用实部最大的特征根[2]距虚轴的距离来表示系统的相对稳定性, 或叫稳定裕度。

设稳定裕度为 , 为了能用上述判据来分析系统的稳定裕度, 可以用新变量 代入原特征方程, 即令 。 求解D(s') 或使用上面的稳定性判据分析即可。 这个操作相当于把虚轴往左平移了 , 然后看系统特征点是否还能在它的左边。

2 稳态误差分析与计算

2.1 误差与稳态误差

误差一般定义为期望值与实际值之差, 对于常见的负反馈闭环系统来说, 误差有两种定义:

  1. 实际值为 c(t), 期望值为 r(t) : 误差 e(t)=r(t)-c(t)
  2. 实际值为 b(t), 期望值为 r(t) : 误差 e(t)=r(t)-b(t)

稳态误差是指稳定系统的误差的终值, 当时间 t 趋于无穷时, e(t) 极限存在, 则稳态误差为

稳态误差可以使用终值定理来计算, 当且仅当 sE(s) 的极点均具有负实部时[3], 稳态误差的值为:

2.2 输入信号作用下的稳态误差与系统结构参数的关系

当只有输入 r(t) 作用时, 系统如下图所示:

此时误差定义为

根据等效变换的计算[1], 可得:

而 G(s)H(s) 可写作:

式中, K 为系统的开环增益, V 为开环传递函数中积分环节的个数。 V=0 称系统为 0 型系统, V=1 称系统为 I 型系统, V=2 称系统为 II 型系统。

则系统的稳态误差:

由此可得, 系统的稳态误差主要由三方面确定:

  • 输入信号 R(s);
  • 系统的开环增益 K;
  • 系统的型别 V

下面对不同的情况进行讨论:

2.2.1 阶跃信号

定义静态位置误差系数

则易得:

对于 0 型系统, 开环增益越大, 稳态误差越小; 对于 型系统, 稳态误差为0。

2.2.2 斜坡信号 ​

定义静态速度误差系数

则易得:

0 型系统不稳定; 对于 I 型系统, 开环增益越大, 稳态误差越小; 对于 型系统, 稳态误差为0。

2.2.3 加速度信号 ​​

定义静态加速度误差系数 ​​​

则易得:

​ 型系统不稳定; 对于 II 型系统, 开环增益越大, 稳态误差越小; 对于 ​​ 型系统, 稳态误差为0。

attention:

注意上述的推导都是在只有输入信号 r(t) 作为外作用的情况下进行的, 也就是说, 系统型别与稳态误差之间的关系不适用于有干扰 n(t) 作用的情况。

2.3 计算稳态误差

计算稳态误差的步骤可归纳为:

  1. 根据误差定义计算 E(s);
  2. 判断 sE(s) 的极点是否均具有负实部 (可用系统稳定性判据来判断);
  3. 若 sE(s) 的极点均具有负实部, 应用终值定理计算稳态误差。

3 参考文献

《自动控制原理 (第二版)》 | 程鹏 | 高等教育出版社


  1. 1.见第二章反馈等效变换: 自动控制原理 (二): 控制系统的微分方程 | Mond's Page ↩︎
  2. 2.当系统稳定时, 这个根就是离虚轴最近的那个根 ↩︎
  3. 3.也就是闭环系统稳定时 ↩︎

文章作者: Mond
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