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自动控制原理 (三): 时域分析法


有了控制系统的数学模型后, 就能对控制系统的性能做具体分析, 在经典控制理论中, 常用的有三种: 时域分析法、 根轨迹法、 频域法, 将分别接下来的三章介绍。 本章介绍时域分析法。

实际上, 后两种方法都是在时域分析的基础上, 并应用了很多时域分析的结论。 所以时域分析法十分的重要。

1 时域分析基础

时域分析法根据系统微分方程, 通过拉氏变换直接求出系统的时域响应; 依据响应的表达式及时间响应曲线分析系统性能, 找出系统结构、 参数与这些性能之间的关系。 一般分析系统的单位阶跃响应。

这是一种较为直接的方法, 可以准确且可提供系统时间响应的全部信息。

1.1 典型初始状态

时域分析法中典型的初始状态为零状态:

1.2 典型外作用

典型的外作用输入有以下四种:

  1. 单位阶跃作用

  2. 单位斜坡作用:

  3. 单位脉冲函数 ​ :​

  4. 正弦函数 ​ :

1.3 典型时间响应

设系统的传递函数为 , 则输入典型外作用函数, 对应系统的典型时间响应如下:

  1. 单位脉冲响应:

  2. 单位阶跃响应:

  3. 单位斜坡响应:

💡 Note:

这里请注意: 系统传递函数的拉氏反变换即为该系统的脉冲响应函数, 另请注意这三个响应之间的积分关系。

1.4 阶跃响应的性能指标

对于单位阶跃响应, 定义如下性能指标

  1. 延迟时间 : h(t) 上升到其稳态值的 50% 所需时间
  2. 上升时间 : h(t) 从 10% 上升到 90% 所需时间
  3. 峰值时间 : h(t) 超过其稳态值而到达第一个峰值所需的时间
  4. 超调量 : h(t) 超过稳态值的最大偏移量与稳态值之比
  5. 调节时间 : 取 作为误差带, h(t) 达到并不再超出该误差带的最小时间
  6. 稳态误差

各项性能指标

2 一阶系统的时域响应

一个典型的一阶系统如下:

其单位阶跃响应为:

单位斜坡响应为:

一阶系统的单位阶跃响应是无超调和振荡的, 其性能指标主要是调节时间 , 一般可近似计算:

3 二阶系统的时域响应

二阶微分方程描述的系统称为二阶系统, 系统方程如下:

式中: 为无阻尼自然角频率 (), 为阻尼比;

拉氏变换后:

根据阻尼比可分为如下四种情况:

3.1 过阻尼 ( ​ > 1 )

此时系统传递函数的极点分别为:

极点图和单位阶跃响应如下图所示:

过阻尼单位阶跃响应

此时系统无超调, 无稳态误差。

3.2 欠阻尼 ( 0 < < 1 )

此时系统的极点为:

极点图和单位阶跃响应如下:

欠阻尼单位阶跃响应

其中 称为阻尼振荡角频率 , 且 ​ ; ​。

3.2.1 二阶欠阻尼系统的阶跃响应

经过拉式反变换可得:

3.2.2 二阶欠阻尼系统性能的定性分析

  • 平稳性:

    越大, 越小, 振荡倾向越弱。 越小, 平稳性越好。 这也是为什么 ​ 被称作阻尼比, 其值越大, 相当于阻尼越大, 系统能更快的减少振荡。 当阻尼比为0时, 系统无阻尼, 做等幅振荡。

    系统超调量和阻尼比的关系如下图:

    超调量和阻尼比的关系

    而当 一定时, 越大, 越大, 响应平稳性越差。

    总之, ​ 大, ​​ 小的系统平稳性好。

  • 快速性:

    在 0.7 附近时, 调节时间最短, 其超调量也小于 。 实际上, 为最佳阻尼比。

    在所有 的无振荡和超调的响应中, 时响应最快。

  • 稳态精度:

    根据终值定理[1]可得稳态误差

3.2.3 二阶欠阻尼系统性能的定量计算

  • 峰值时间:

  • 超调量:

  • 调节时间:

    由系统阶跃响应表达式可得:

    设误差限为 , 则根据调节时间的定义可得:

    < 0.8 时, 可用下式估算:

3.3 无阻尼 ( = 0 )

极点图和单位阶跃响应如下:

无阻尼单位阶跃响应

振荡频率为

3.4 临界阻尼 ( = 1 )

极点图和单位阶跃响应如下:

临界阻尼单位阶跃响应

阶跃响应为:

和过阻尼一样, 此时的系统无超调, 无稳态误差。 我们在设计控制器时一般就是想让系统的响应为临界阻尼。 此时的系统响应是在无超调的情况下, 响应速度最快的。

4 参考文献

《自动控制原理 (第二版)》 | 程鹏 | 高等教育出版社

  1. 1.终值定理: 设 e(t) 的 Laplace 变换为 E(s) , 则 t 趋于无穷时 e(t) 的值和 s 趋于 0 时 sE(s) 的值相等, 当然前提是两者的极限均存在。 ↩︎

文章作者: Mond
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